紐結(jié)理論

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紐結(jié)理論是數(shù)學(xué)學(xué)科代數(shù)拓?fù)涞囊粋€(gè)分支，按照數(shù)學(xué)上的術(shù)語來說，是研究如何把若干個(gè)圓環(huán)嵌入到三維實(shí)歐氏空間中去的數(shù)學(xué)分支。紐結(jié)理論的特別之處是它研究的對象必須是三維空間中的曲線。在兩維空間中，由于沒有足夠的維數(shù)，我們不可能把讓一根曲線自己和自己纏繞在一起打成結(jié)；而在四維或以上的空間中，由于維數(shù)太多，無論怎么樣的紐結(jié)都能夠很方便地被解開成沒有結(jié)的曲線。

中文名
紐結(jié)理論
外文名
knot theory
簡介
數(shù)學(xué)學(xué)科代數(shù)拓?fù)涞囊粋€(gè)分支
屬性
數(shù)學(xué)術(shù)語
領(lǐng)域
數(shù)學(xué)
基本問題
結(jié)繩記事

簡介

紐結(jié)理論是數(shù)學(xué)學(xué)科代數(shù)拓?fù)涞囊粋€(gè)分支，按照數(shù)學(xué)上的術(shù)語來說，是研究如何把若干個(gè)圓環(huán)嵌入到三維實(shí)歐氏空間中去的數(shù)學(xué)分支。紐結(jié)理論的特別之處是它研究的對象必須是三維空間中的曲線。在兩維空間中，由于沒有足夠的維數(shù)，我們不可能把讓一根曲線自己和自己纏繞在一起打成結(jié)；而在四維或以上的空間中，由于維數(shù)太多，無論怎么樣的紐結(jié)都能夠很方便地被解開成沒有結(jié)的曲線。

基本問題

繩結(jié)是人人熟悉的，史前時(shí)期就有結(jié)繩記事。試一試就會相信，圖1中的兩個(gè)結(jié)不一樣：沒法把一個(gè)變形成另一個(gè)，除非把繩頭抽回重穿。繩子的粗細(xì)、長短、曲直允許改變，單單不許繩頭重穿。由于這條規(guī)矩不易精確描述，那么索性規(guī)定繩的兩端要捻合起來（于是剛才的兩個(gè)結(jié)要改畫成圖2）。這樣就可以得到了數(shù)學(xué)上的定義：紐結(jié)是三維空間中的不與自己相交的封閉曲線，或者

紐結(jié)

說，三維空間中的與圓周同胚的圖形。兩個(gè)紐結(jié)等價(jià)是指存在三維空間本身的一個(gè)變形，把一個(gè)變成另一個(gè)。與平面上的圓周等價(jià)的紐結(jié)稱為平凡紐結(jié)（因?yàn)榘盐创蚪Y(jié)的繩子兩頭捻合得到的圈可以放在平面上）。同時(shí)這也是繩結(jié)魔術(shù)的數(shù)學(xué)道理。

如果不是考慮一條閉曲線,而是同時(shí)考慮h條閉曲線，要求它們既不自交也不互交,那么就得到h圈鏈環(huán)的概念。等價(jià)性的定義也與紐結(jié)的相仿。圖3中是兩個(gè)非平凡的（即不等價(jià)于互相分離的圓周的）雙圈鏈環(huán)，它們彼此也不等價(jià)[1]?。

紐結(jié)理論的基本問題是:怎樣區(qū)分不等價(jià)的紐結(jié)(或鏈環(huán))？它是三維拓?fù)鋵W(xué)的一部分,因?yàn)榍€打結(jié)與鏈鎖是三維空間所特有的現(xiàn)象（平面上、四維以上的空間里曲線都不會打結(jié)），而且它所研究的是閉曲線在三維空間中安放方式的差異，并不是閉曲線本身（它們都與圓周同胚，因而彼此都同胚）。


紐結(jié)的投影

每個(gè)紐結(jié),選取適當(dāng)?shù)耐队胺较?總可以使它在平面上的投影的自交點(diǎn)都只是二重交叉點(diǎn)；以線的虛實(shí)表現(xiàn)交叉的情況，就得到紐結(jié)的投影圖。紐結(jié)的等價(jià)類被它的投影圖所完全確定，但是等價(jià)的紐結(jié)可以有不同的投影圖。圖4的兩個(gè)紐結(jié)是分別與圖2的兩個(gè)紐結(jié)等價(jià)的,它們通常稱為三葉結(jié)與8字結(jié)。
紐結(jié)的不變量

要證明兩個(gè)紐結(jié)等價(jià)，只須用繩各作一個(gè)模型然后把一個(gè)變形成另一個(gè)。然而如果你失敗了，并不足以證明這兩個(gè)紐結(jié)不等價(jià)，或許還有什么訣竅能使它們互變呢！因此，要證明兩個(gè)紐結(jié)不等價(jià)，必須用不變量，即紐結(jié)的在變形下不改變的性質(zhì)。

不變量之一是紐結(jié)的群，即從三維空間中挖去該紐結(jié)后所余的開集的基本群。它容易計(jì)算，有簡單的步驟從該紐結(jié)的投影圖來寫出它的母元和關(guān)系。然而它不易鑒別,因?yàn)橛媚冈完P(guān)系寫出的兩個(gè)群,沒有普遍適用的辦法來鑒定它們是否同構(gòu)。平凡紐結(jié)的特征是，它的群是無限循環(huán)群。然而,群相同的紐結(jié)不一定等價(jià)。圖5中的兩個(gè)三葉結(jié)互為鏡像，因而有相同的群，但是它們不等價(jià)。圖6是兩個(gè)常用的結(jié),也是群相同而不等價(jià)。眾所周知，左邊的結(jié)牢靠，有方結(jié)、外科結(jié)等名稱，而右邊的易散，被稱為懶散結(jié)。那是它們的物理性質(zhì)，不是幾何性質(zhì)。


紐結(jié)的運(yùn)算

在一條繩上先后打兩個(gè)結(jié)，其結(jié)果稱為兩個(gè)結(jié)的和（圖7）。很明顯,這加法滿足結(jié)合律,平凡結(jié)起著零的作用。交換律可以從圖8看出。全體紐結(jié)在加法運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)交換半群。就象每個(gè)正整數(shù)在乘法運(yùn)算下有惟一的素因子分解一樣，每個(gè)非平凡的紐結(jié)可以分解成素紐結(jié)（即不能再分解的非平凡紐結(jié)，例如三葉結(jié)與8字結(jié)）的和,而且只有一個(gè)這樣的分解式。方結(jié)是三葉結(jié)與其鏡像之和，而懶散結(jié)則是兩個(gè)三葉結(jié)之和。



歷史與現(xiàn)狀

C.F.高斯在1833年研究電動力學(xué)時(shí)引進(jìn)了閉曲線之間的環(huán)繞數(shù)，這是紐結(jié)理論的基本工具之一。1880年左右出現(xiàn)了最早的紐結(jié)表。紐結(jié)理論后來隨著代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展而前進(jìn)，也反過來刺激了代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展。1910年M.W.德恩引進(jìn)紐結(jié)的群的概念，1928年J.W.亞歷山大引進(jìn)了紐結(jié)的多項(xiàng)式這個(gè)更易處理的不變量，都是重要的進(jìn)步。紐結(jié)理論是拓?fù)鋵W(xué)的一個(gè)引人入勝的領(lǐng)域，一方面因?yàn)樗芯康氖强吹靡娒弥呢S富多彩的幾何現(xiàn)象，有著許多問題等待人們?nèi)ソ鉀Q，另一方面也因?yàn)樗喈?dāng)奧妙,需要動用各種各樣的方法,成了諸如群論、矩陣論、數(shù)論、代數(shù)幾何、微分幾何等眾多學(xué)科與拓?fù)鋵W(xué)交匯的地方。

目前，已經(jīng)有了能夠判斷紐結(jié)的等價(jià)性的算法，可以造出一臺機(jī)器，輸入任意兩個(gè)紐結(jié)的投影圖，它都能判定它們是否等價(jià)。然而這只解決了理論上的可判定性，還不切實(shí)可行。在實(shí)際計(jì)算方面，已發(fā)明了一些新的多項(xiàng)式不變量，它們比亞歷山大多項(xiàng)式包含更多的信息。

由于紐結(jié)、鏈環(huán)與三維、四維流形的構(gòu)造和分類有深刻的聯(lián)系，與奇點(diǎn)理論也密切相關(guān)，也由于高維紐結(jié)（n維球面在n+2維空間中安放方式）的研究的進(jìn)展，紐結(jié)理論近年來引起更多人的興趣。它也被應(yīng)用于化學(xué)中大分子的空間結(jié)構(gòu)的研究，例如遺傳物質(zhì)DNA的研究。

20世紀(jì)八十年代，jones發(fā)明了紐結(jié)多項(xiàng)式，為紐結(jié)理論的發(fā)展做出了進(jìn)一步的推動。


(Sorry,圖8已丟失)

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最近正好在看姜伯駒那本紐結(jié)科普

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