原貼 1+1等于？我來告訴你答案
關(guān)于 1+1 = 2 的證明，首先我們要定義什么是 1，什么是 2，什么是 + ,什么是 =。
首先根據(jù) Peano axioms 定義自然數(shù)。
1.0是自然數(shù)
2.對(duì)于任意一個(gè)自然數(shù)，都有唯一確定的后繼數(shù)，后繼數(shù)也是自然數(shù)
3.對(duì)于任意自然數(shù)， 兩數(shù)相等等價(jià)于兩數(shù)的后繼數(shù)相等
4.0不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)
那么我們可以輕易得到1是0的后繼數(shù)，2是1的后繼數(shù)。
然后我們定義一種序關(guān)系 >=（≥我后面都用>=來表示因?yàn)榇蚱饋聿环奖悖?br />
1.任意自然數(shù)>=它本身
2.若a>=b,b>=a,則a=b
3.若a>=b,b>=c,則a>=c
4.一個(gè)數(shù)的后繼數(shù)>=它本身
接下來定義加法
1.兩個(gè)自然數(shù)相加結(jié)果也是自然數(shù)
2.a+b=b+a
3.(a+b)+c=a+(b+c)
4.對(duì)任意自然數(shù)a>=b,存在唯一的自然數(shù)c使 b+c=a
5.對(duì)任意自然數(shù)，a+b>=a
首先考慮 0
對(duì)于任意自然數(shù) a，根據(jù)加法第四條，存在唯一確定的 e(a) 使得 a+e(a)=a。任取兩自然數(shù) b>=a,存在 a+c=b（加法第四條），即 a+e(a)+c=b+e(b)=d
d>=a+c,d>=b,a+c=b，根據(jù)加法第四條得到 e(a)=e(b)，即任意自然數(shù) a 存在相同的 e 使得 a+e=a
根據(jù)加法第五條和>=第四條，任意自然數(shù) a+e>=e,a+e=a 因此 a>=e,因此 e 不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)，根據(jù)自然數(shù)第四條，e=0
因此對(duì)于任意自然數(shù) a,a+0=a
同時(shí)根據(jù)交換律， 1+0=0+1=1
我們用 a' 表示 a 的后繼數(shù)
當(dāng) a=0 時(shí)，a+1=a'
若 a=n 時(shí)，a+1=a',則 a=n' 時(shí):
n+1=n' 由加法第五條和>=第四條可以得到 n''>=n'=n+1>=1,由加法第四條可以得到存在自然數(shù) c 使得 1+c=n'',由加法第五條得到 n''>=c,又因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng) e=0 時(shí) 0+c=c,1和0的后繼數(shù)不相同，1不等于0，因此 c 不等于 n'',同時(shí)由于 1+c=n''>=n'=1+n,因此存在唯一的自然數(shù) 1+c=1+n+f，n+f=c
因此c>=n。于是我們可以得到 n''>=c>=n,又因?yàn)?+c=n'',1+n=n'，n'不等于n''，因此 c 不等于 n。于是 c=n'。
即若 a=n 時(shí)，a+1=a',則 a=n' 時(shí)，a+1=a'也成立。
因此對(duì)于所有自然數(shù)，a+1=a'都成立。
1的后繼數(shù)是2，因此 1+1=2 |
厲害