[數(shù)獨(dú)高級(jí)技巧入門]鏈的邏輯及AIC

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轉(zhuǎn)載自獨(dú)數(shù)之道
作者：葉卡琳娜

這個(gè)帖子主要想闡述鏈?zhǔn)鞘裁矗趺词褂面湥约版湹倪壿嬤^(guò)程，幫助大家首先了解原理，那么以后關(guān)于chain、wing之類的按照這個(gè)思路都非常容易理解。
首先我想說(shuō)明下什么是“強(qiáng)”關(guān)系，什么是“弱”關(guān)系？
強(qiáng)關(guān)系是說(shuō)A與B兩個(gè)事件，假如A不成立，則B一定成立。
弱關(guān)系是說(shuō)A與B兩個(gè)事件，假如A成立，則B一定不成立。
舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子幫助大家體會(huì)：


（圖中被劃短橫線的格表示不含候選數(shù)1）
這是一個(gè)數(shù)獨(dú)的宮，根據(jù)數(shù)獨(dú)規(guī)則一個(gè)宮內(nèi)出現(xiàn)數(shù)字1-9各一次，可以做出以下兩點(diǎn)推斷：
1.左上格不是1，則右中格一定是1；
2.左上格是1，則右中格一定不是1。
第一種推斷得到這兩格的1是強(qiáng)關(guān)系，所以可以說(shuō)兩格之間形成一條強(qiáng)鏈，強(qiáng)鏈我們通常以雙橫線表示（==）；
第二種推斷得到這兩格的1是弱關(guān)系，所以可以說(shuō)兩格之間形成一條弱鏈，弱鏈我們通常以單橫線表示（——）。

再舉一個(gè)例子：


（圖中被劃短橫線的格表示不含候選數(shù)1）
上圖可以做出三大點(diǎn)推斷：
1.左上格是1，則中上格及右中格一定不是1；
2.中上格是1，則左上格及右中格一定不是1；
3.右中格是1，則左上格及中上格一定不是1。
這個(gè)例子里，存在著3條弱鏈，分別是（左上--中上）、（左上--右中）、（中上--右中）。

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上面說(shuō)的是同一數(shù)字的強(qiáng)弱關(guān)系，當(dāng)然強(qiáng)弱關(guān)系可以不局限于一個(gè)數(shù)字，下面用例子來(lái)說(shuō)明：

（圖中被短橫線劃掉的格說(shuō)明未知其候選數(shù)情況）
根據(jù)右上格的候選數(shù)僅有1與2可以做出以下推斷：
1.如果該格不能是1，則一定為2；
2.如果該格是1，則一定不是2。
推斷一說(shuō)明數(shù)字1與2之間是強(qiáng)關(guān)系，形成強(qiáng)鏈；推斷二說(shuō)明其為弱關(guān)系，形成弱鏈。


（圖中被短橫線劃掉的格說(shuō)明未知其候選數(shù)情況）
右上格有3個(gè)候選數(shù)，我們可以做出以下推斷：
1.如果這格為1，則不能為2或3；
2.如果這格為2，則不能為1或3；
3.如果這格為3，則不能為1或2。
數(shù)字1與2、2與3、1與3之間分別為一條弱鏈。

像第二張圖這樣的關(guān)系推斷，大家可能會(huì)不以為意，但是這是理解強(qiáng)弱關(guān)系的一個(gè)很好的例子，對(duì)于后面將要敘述的內(nèi)容也會(huì)有所幫助。

相信通過(guò)上面的說(shuō)明大家已經(jīng)了解了強(qiáng)弱鏈?zhǔn)鞘裁矗酉聛?lái)我們將強(qiáng)弱鏈連接起來(lái)。
第一種情況：A==B--C==D
由A的真假情況可以做出以下BCD關(guān)系的枚舉。
再次請(qǐng)大家注意本文開(kāi)頭所提到的強(qiáng)弱關(guān)系本質(zhì)
1.強(qiáng)關(guān)系是說(shuō)A與B兩個(gè)事件，假如A不成立，則B一定成立。
2.弱關(guān)系是說(shuō)A與B兩個(gè)事件，假如A成立，則B一定不成立。



（圖中紅色部分表示根據(jù)上一個(gè)的真假情況必然是這樣的推導(dǎo)）
可見(jiàn)A與D不全為假，即A與D一定有一個(gè)為真。
當(dāng)A與D有等位群格位的交集時(shí)，即可做出相應(yīng)刪減。

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（圖示技巧名為Skyscraper）
根據(jù)強(qiáng)弱關(guān)系，我們找到了一條符合A==B--C==D的強(qiáng)弱鏈組：r3c1(2)==r3c7(2)--r9c7(2)==r9c2(2)。
根據(jù)上文提到的邏輯關(guān)系，可以得到r3c1=2與r9c2=2至少有一個(gè)成立，所以可以刪去它們等位群格位的交集（即橙色區(qū)域）的候選數(shù)2。



•根據(jù)葉卡林娜前面對(duì)于強(qiáng)鏈的敘述，以下是一個(gè)雙強(qiáng)鏈的實(shí)例，也是大家耳熟能詳?shù)?X-Wing。


1. 上左圖，數(shù)字 4 在 C4,C8 形成 X-Wing。
2. 上右圖，R2,R4 除了形成 X-Wing 的四格之外，其它格位不能存在數(shù)字 4，因此畫 X 處就是可以刪減候選數(shù) 4 的格位。


● X-Wing用之前提到的強(qiáng)弱強(qiáng)鏈觀察可以找到2組，以上圖為例：
　r2c4==r4c4--r4c8==r2c8，得到r2c4與r2c8的4至少有一個(gè)成立，所以可以刪除R2其他格的候選數(shù)4；
　r4c4==r2c4--r2c8==r4c8，得到r4c4與r4c8的4至少有一個(gè)成立，所以可以刪除R4其他格的候選數(shù)4。

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•有時(shí)運(yùn)用不同的強(qiáng)弱強(qiáng)鏈，能達(dá)到相同的刪減效果，下面就是一個(gè)例子：





•左側(cè)使用的是r5c1==r5c9--r3c9==r1c7的強(qiáng)弱強(qiáng)鏈；

•右側(cè)使用的是r3c2==r3c9--r5c9==r5c1的強(qiáng)弱強(qiáng)鏈。

•兩種觀察方法均可以刪除r1c1的候選數(shù)1。



•上面的幾個(gè)例子都是關(guān)于單一數(shù)的強(qiáng)弱強(qiáng)鏈的，在數(shù)獨(dú)的解題技巧里我們將這類成為X-Chain。

•關(guān)于單一數(shù)鏈應(yīng)用我們放在 雙強(qiáng)鏈解法的運(yùn)用 這個(gè)主題中繼續(xù)討論。

•當(dāng)把鏈的條數(shù)增加的時(shí)候，也就是A==B--C==D--E==F時(shí)，也能夠推導(dǎo)出A與F至少有一個(gè)為真，這邊就不做枚舉了，大家可以自行推導(dǎo)下。

•下面來(lái)看一些牽扯到異數(shù)的強(qiáng)弱強(qiáng)鏈的例子。

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要說(shuō)異數(shù)強(qiáng)弱強(qiáng)的關(guān)系肯定要提到XY-Wing了，下面是一個(gè)XY-Wing的例子：



（圖中三格的候選數(shù)由點(diǎn)算即得）

通常解釋XY-Wing原理的時(shí)候會(huì)用如果r4c2=1則r5c1=4；如果r4c2=9則r4c8=4，所以不論r4c2是1還是9，r5c1與r4c8中至少有一個(gè)是4，
從而得到r5c1與r4c8的等位群格位交集部分（圖中藍(lán)色格）不含4。

這樣是不是有點(diǎn)猜測(cè)的味道呢？很多人都說(shuō)高級(jí)技巧是把猜的東西合理化，其實(shí)不然。

用強(qiáng)弱強(qiáng)鏈的觀點(diǎn)可以這樣看r5c1(4)==r5c1(1)--r4c2(1)==r4c2(9)--r4c8(9)==r4c8(4)，
也是得到r5c1與r4c8中至少有一個(gè)是4，這樣的觀察是不是更邏輯化呢？歡迎大家提出你的看法。



與XY-Wing較相近的要數(shù)XY-Chain。



XY-Wing由三格組成，分別為xy格，xz格，yz格。XY-Chain不止三格，需要把一些格合并當(dāng)作XY-Wing組成格之一來(lái)看。（這些我們會(huì)在相應(yīng)主題再討論）

下面來(lái)看一個(gè)例子：

這里就不用如果怎么則怎么來(lái)解釋了，畢竟通過(guò)上面一些介紹，大家可以用強(qiáng)弱強(qiáng)這樣的邏輯關(guān)系解釋，不需要用如果怎么樣的解釋。
以XY-Wing的觀點(diǎn)來(lái)看的話可以將r4c2作xy格，r4c9作xz格，{r5c1, r5c2}作為yz格。
以強(qiáng)弱鏈的觀點(diǎn)來(lái)看略復(fù)雜，因?yàn)橛?條強(qiáng)鏈組成，請(qǐng)大家以r4c9為起點(diǎn)依次觀察交替的強(qiáng)鏈(紅色)、弱鏈(綠色)。
可以得到兩端點(diǎn)r5c1(1)、r4c9(1)至少有一個(gè)成立，所以可刪除兩者交集r5c89的候選數(shù)1。

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有的時(shí)候我們可以把兩格看作一組，例如在 雙強(qiáng)鏈解法運(yùn)用 中的第六題：



r4c1(7)==r5c4(7)--r5c2(7)=={r1c2, r2c2}(7)
得到{r1c2, r2c2}與r4c1至少有一個(gè)為7。
所以可以刪除{r1c2, r2c2}與r4c1等位群格位的交集r1c3的候選數(shù)7。
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XY-Chian的首尾若能連接起來(lái)就成為了XY-Cycle（Multi X-Wing）




上圖中斷開(kāi)任意一條弱鏈（綠色表示）即成為XY-Chain的結(jié)構(gòu)。

例如斷開(kāi)上端r8c57的弱鏈后，可以得到r8c5(7)與r8c7(7)至少有一個(gè)成立，即可刪除這兩格等位群格位交集的7（這里交集是R8除這兩格外的格）。

其他三種斷開(kāi)弱鏈能夠做何刪減，大家可以自己嘗試推導(dǎo)。


前面是例舉了強(qiáng)弱強(qiáng)的關(guān)系，那么弱強(qiáng)弱的關(guān)系又能得到什么結(jié)論呢？
第二種情況：A--B==C--D
由A的真假情況可以做出以下BCD關(guān)系的枚舉。

（圖中紅色部分表示根據(jù)上一個(gè)的真假情況必然是這樣的推導(dǎo)）
可見(jiàn)A與D不全為真，即A與D一定有一個(gè)為假。

這樣的關(guān)系有什么相應(yīng)應(yīng)用呢？歡迎大家提出你的看法。

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既然強(qiáng)弱強(qiáng)看起來(lái)這么厲害，那么強(qiáng)強(qiáng)強(qiáng)會(huì)如何呢？
A==B==C==D
由A的真假情況可以做出以下BCD關(guān)系的枚舉。

（圖中紅色部分表示根據(jù)上一個(gè)的真假情況必然是這樣的推導(dǎo)）
可以發(fā)現(xiàn)，AD一真一假，全為真，全為假都可能，所以雖然是強(qiáng)強(qiáng)強(qiáng)，也達(dá)不到任何效果，比弱強(qiáng)弱還不如。
這難道就是所謂的物極必反么？


那么既然強(qiáng)強(qiáng)強(qiáng)都沒(méi)用，再加一個(gè)強(qiáng)，變成強(qiáng)強(qiáng)強(qiáng)強(qiáng)是不是會(huì)有點(diǎn)用處呢？
以前看過(guò)獨(dú)數(shù)文章的朋友可能還記得有一個(gè)叫Guardians（守護(hù)者）的技巧，也有地方稱之為Broken Wings或者Turbot-Fish。
其描述的是某一個(gè)候選數(shù)X的情況，當(dāng)有偶數(shù)條強(qiáng)鏈，且兩個(gè)端點(diǎn)處于同一unit時(shí)，這時(shí)可以刪除兩個(gè)端點(diǎn)上的候選數(shù)X，
如果該unit出這兩端點(diǎn)格外只有一格含有候選數(shù)X，則該格一定就是X。


可以刪除r2c3與r4c3的候選數(shù)5，守護(hù)者r9c3=5。

大家可以解釋其中的原理么？

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TTHsieh  對(duì)原理的解答：

單數(shù)鏈以強(qiáng)、弱方式構(gòu)成環(huán)，稱為 X-Cycle，無(wú)法構(gòu)成環(huán)，則稱為 X-Chain。
X-Cycle 的弱環(huán)節(jié)除節(jié)點(diǎn)外，單元內(nèi)其它格位的相同候選數(shù)均可刪除。
X-Chain 在開(kāi)口處之兩節(jié)點(diǎn)共同作用格的相同候選數(shù)均可刪除。
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本質(zhì)上 X-Cycle 只是 X-Chain 的特例，因此統(tǒng)稱為單鏈。
單鏈若由兩條強(qiáng)鏈與一條弱鏈構(gòu)成，就是習(xí)稱的雙強(qiáng)鏈，有摩天樓、雙線風(fēng)箏、魚(yú)三種連結(jié)方式。
單鏈若由兩條強(qiáng)鏈與兩條弱鏈構(gòu)成環(huán)，就是習(xí)稱的 X-Wing。


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上面三圖中，從藍(lán)色格出發(fā)到達(dá)紅色格，根據(jù)它們之間的邏輯關(guān)系，可以得到紅色格有相同的真假值。


上面二圖中，從一個(gè)紅色格出發(fā)到達(dá)另一紅色格，根據(jù)它們之間的邏輯關(guān)系，亦可得到另一紅色格有相同的真假值。

紅色格若為假，沒(méi)問(wèn)題兩個(gè)都可刪除，紅色格若為真，則違反數(shù)獨(dú)原則也應(yīng)當(dāng)刪除。
結(jié)論：紅色格應(yīng)予刪除。


以分色法(Coloring)的推導(dǎo)方式是：若在某一單元出現(xiàn)相同的顏色，則色鏈中與該顏色相同的格位均應(yīng)刪除。

圖1

圖2

圖3

上圖1 刪除白色, 上圖2 刪除藍(lán)色, 上圖2 刪除白色


圖4

圖5

上圖4 刪除藍(lán)色, 上圖5 刪除藍(lán)色
從每一格位出發(fā)所得到的結(jié)論均相同。

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在本帖7樓提到了守護(hù)者的結(jié)構(gòu)，這看起來(lái)似乎與在7樓的另一個(gè)觀點(diǎn)相矛盾。
但是事實(shí)并非如此，請(qǐng)注意觀察守護(hù)者的例子，因?yàn)檫@里所有的強(qiáng)鏈都是在同一unit的強(qiáng)鏈，因此，根據(jù)數(shù)獨(dú)規(guī)則，當(dāng)然也符合弱鏈的定義，同一unit有兩個(gè)相同數(shù)不是矛盾了么？
因此在17樓中的推理如果是基于A==B==C==D且A--B--C--D，即所有鏈既是強(qiáng)鏈也是弱鏈時(shí)，八種情況中的六種即可刪除。


即只剩下 真假真假 與 假真假真 兩種情況。

因此，事實(shí)上守護(hù)者是同時(shí)符合A==B==C==D==E與A--B--C--D--E的結(jié)構(gòu)。
按照A的真假性可以做出如下推導(dǎo)：
1. A真 -> B假 -> C真 -> D假 -> E真
2. A假 -> B真 -> C假 -> D真 -> E假
可見(jiàn)A與E真假性相同。
當(dāng)A與E處于同一個(gè)unit時(shí)（此為守護(hù)者的結(jié)構(gòu)描述，見(jiàn)本帖第15樓），不能同時(shí)為真，所以只能全為假。
因此，也就產(chǎn)生了A與E所在unit其他格中的X是守護(hù)者一說(shuō)。
大家也可參考8樓提出的說(shuō)明。


再來(lái)看另一種涉及雙數(shù)關(guān)系的技巧Y-Wing的邏輯關(guān)系：


用鏈的觀點(diǎn)來(lái)看：r3c8(9)==r3c8(2)--r6c8(2)==r6c6(2)--r9c6(2)==r9c6(9)，因此可以刪除r9c8的候選數(shù)9。

亦可這樣理解，如果r3c8不為9，r3c8為2，則r6c8不為2，r6c6為2，r9c6不為2，即r9c6為9；

反過(guò)來(lái)，如果r9c6不為9，則r9c6為2，r6c6不為2，r6c8為2，r3c8不為2，即r3c8為9；

可見(jiàn)r3c8與r9c6至少有一個(gè)為9，因此可以刪除r9c8的候選數(shù)9。

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額，先收下了，慢慢消化，不過(guò)，這應(yīng)該是經(jīng)驗(yàn)得來(lái)的吧，好好學(xué)學(xué)