拉普拉斯定理

200074

定義
在數(shù)學(xué)中，拉普拉斯展開(kāi)（或稱(chēng)拉普拉斯公式）是一個(gè)關(guān)于行列式的展開(kāi)式。將一個(gè) ? 矩陣B的行列式進(jìn)行拉普拉斯展開(kāi)，即是將其表示成關(guān)于矩陣B的某一行（或某一列）的 n個(gè)元素的 ? 余子式的和。行列式的拉普拉斯展開(kāi)一般被簡(jiǎn)稱(chēng)為行列式按某一行（或按某一列）的展開(kāi)。由于矩陣B有 n行 n列，它的拉普拉斯展開(kāi)一共有 2n種。拉普拉斯展開(kāi)的推廣稱(chēng)為拉普拉斯定理，是將一行的元素推廣為關(guān)于k行的一切子式。它們的每一項(xiàng)和對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和仍然是B的行列式。研究一些特定的展開(kāi)可以減少對(duì)于矩陣B之行列式的計(jì)算，拉普拉斯公式也常用于一些抽象的推導(dǎo)中。
公式
設(shè)B= (bij)是一個(gè)n×n矩陣。B關(guān)于第i行第j列的余子式Mij是指B中去掉第i行第j列后得到的n?1階子矩陣的行列式。有時(shí)可以簡(jiǎn)稱(chēng)為B的 ? 余子式。B的 ? 代數(shù)余子式：Cij是指B的 ? 余子式Mij與(?1)的乘積：[1]
Cij= (?1)Mij
拉普拉斯展開(kāi)最初由范德蒙德給出，為如下公式：對(duì)于任意i,j∈ {1, 2, ...,n}：
?
考慮以下的矩陣：
?
這個(gè)矩陣的行列式可以用沿著第一行的拉普拉斯展開(kāi)式來(lái)計(jì)算：
?
也可以用沿著第二列的拉普拉斯展開(kāi)式來(lái)計(jì)算：
?
很容易看到這個(gè)結(jié)果是正確的：這個(gè)矩陣是奇異的，因?yàn)樗牡谝涣泻偷谌械暮团c第二列成比例，因此它的行列式是零。
證明
設(shè)B是一個(gè) ? 的矩陣， ? 。為了明確起見(jiàn)，將 ? 的系數(shù)記為 ? ，其中 ? 。[2]
考慮B的行列式|B|中的每個(gè)含有 ? 的項(xiàng)，它的形式為：
?
其中的置換τ ∈Sn使得τ(i) =j，而σ ∈Sn-1是唯一的將除了i以外的其他元素都映射到與τ相同的像上去的置換。顯然，每個(gè)τ都對(duì)應(yīng)著唯一的σ，每一個(gè)σ也對(duì)應(yīng)著唯一的τ。因此我們創(chuàng)建了Sn?1與{τ∈Sn:τ(i)=j}之間的一個(gè)雙射。置換τ可以經(jīng)過(guò)如下方式從σ得到：
定義σ' ∈Sn使得對(duì)于1 ≤k≤n?1，σ'(k) = σ(k)并且σ'(n) =n，于是sgnσ' = sgn σ。然后
?
由于兩個(gè)輪換分別可以被寫(xiě)成 ? 和 ? 個(gè)對(duì)換，因此
?
因此映射σ ? τ是雙射。由此：
? ???
從而拉普拉斯展開(kāi)成立。
相關(guān)定理
拉普拉斯定理
拉普拉斯在1772年的論文中給出了行列式展開(kāi)的一般形式，現(xiàn)在稱(chēng)為拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和余子式的基礎(chǔ)上，說(shuō)明了如果將B關(guān)于某k行的每一個(gè)子式和對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積加起來(lái)，那么得到的仍然是B的行列式。定理的證明與按一行（一列）展開(kāi)的情況一樣，都是通過(guò)建立置換間的雙射來(lái)證明兩者相等。

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