數(shù)學(xué)題，要用到極限

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第三問，如圖，答案是m＜-1
-1怎么來的？
答案直接說了m在[-1，0)的情況無C關(guān)系
(-∞，-1)有C關(guān)系
但是-1怎么來的？

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高中數(shù)學(xué)，建議連夜逃跑

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畫個圖，看sin區(qū)間xy范圍

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在區(qū)間上存在x，滿足f(x)=-g(x)，則xe^x+msinx=0在0~pi在開區(qū)間上有解，發(fā)現(xiàn)0的時候是0，pi的時候大于0，那么首先就是要求導(dǎo)了，看端點處的增減性，因為是初等函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)是連續(xù)的，(x+1)e^x+mcosx可以直接代端點的值，先看x=0，1+m，再看x=pi，(pi+1)e^pi-m，這種函數(shù)存在局部保號性，也就是說0的時候，如果先遞減，后面再遞增，就能保證至少存在一個零點，而這個函數(shù)永遠(yuǎn)大于xe^x+m，該函數(shù)單調(diào)遞增，且無窮處無極限，所以首先可以得到m<-1時，在0端點的右鄰域存在一個點，使得xe^x+msinx小于0。pi端點處同理，連續(xù)函數(shù)有局部保號性，pi那邊存在一個左鄰域函數(shù)值都是大于0的，所以只需要保證前面一段有小于0的就行，這樣就是充分條件了。為了保險起見，我們考慮一下先增可不可以，直接分離參數(shù)得到-xe^x/sinx，該函數(shù)是可以趨近于負(fù)無窮的，該函數(shù)求導(dǎo)之后得到e^x(-x+xcotx-1)/sinx，很明顯我們只用看括號里面的就可以判斷增減性，-x+xcotx-1>0在0到pi上求解，這塊確實需要用一下等價無窮小，x趨近于零的時候，極限是0，在該區(qū)間上該函數(shù)單調(diào)遞減，取pi的時候達(dá)到負(fù)無窮，所以導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上恒小于0，所以原函數(shù)在該區(qū)間上就單調(diào)遞減了，0處取最大值，x=0，用等價無窮小得到-1，這樣就做完了。前面是目測，后面是實際計算。當(dāng)然也可以不用分離參數(shù)，但是這樣就要多求幾次導(dǎo)了