【簡單物理入門】運動（3）

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零·三角函數(shù)的導數(shù)與復合函數(shù)求導
        根據(jù)我們第一篇中導數(shù)的定義，可以得到sin' x=[sin(x+△x)-sin x]/△x=(sin x cos△x+cos x sin△x-sin x)/△x
        當△x趨近于0的時候，cos △x趨近于1，sin △x趨近于△x （一階小量）
        因此sin' x=cos x
        同理可以算出 cos' x=-sin x，過程可以當做練習。
        導數(shù)四則運算。
        [f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)
        [f(x)*g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
        [f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^2
        如果函數(shù)為復合函數(shù)，f'[g(x)]=f'(x)*g'(x)，
        因此我們可以計算 tan' x=(sin x/cos x)'=(sin' x cos x-sin x cos' x)/(cos x)^2=1/(cos x)^2
       
一·加速度
        速度是位置的變化率，那么加速度就是速度的變化率，只要速度對時間再求一階導就可以算出加速度了。
        假設物體勻加速直線運動，x=2t^2,那么我們求一階導，v=4t，再求一階導 a=4，可以得出該物體是初速度為0，初位置為0，加速度為4的勻加速直線運動。
       
二·自由落體和平拋運動
        自由落體是初速度為0，只受重力影響有一個向下的加速度，重力加速度用 g 表示，一般取 g=9.8m/(s)^2,
        我們反過來，由加速度推下落距離。y取向下為正
        初速度為0，初位置為0，t時刻的速度很好判斷，v=gt，因為這是一個勻加速直線運動，所以 v 和 t 成正比。
        v是變速，這個時候求位移一般要通過積分，但是我還沒講，這里我們利用 v 和 t 成正比的特點，作個v-t圖，顯然，每一時刻經過的距離就是v-t曲線下所圍的面積，那么經過t，下面所圍的面積是一個三角形，因此 y=0.5vt=0.5gt^2,
        平拋運動則是自由落體的同時給物體一個水平的初速度v0，根據(jù)我們上一章所講的速度合成與分解，可以輕易地把運動分解為水平勻速直線運動和豎直自由落體的合成，得到x=v0t,y=0.5gt^2

三·角速度
        在有些時候，物體的運動不一定是直線，或者分解成直線運動很麻煩，我們可以從角度去分析。將物體和參照物連線，經過時間t，再連線，兩個連線間轉過的角度就是角位移，記作θ，那么角速度就是角位移除以時間t，ω=θ/t，其余類似的都可以近似直線運動的位移和速度去分析。

四·勻速圓周運動
        勻速圓周運動指在圓周上往一個方向以恒定速度 v運動。
        那么當角度為θ時，x=r cosθ，y=r sinθ，對x,y分別求導得到x,y方向的速度，（注意vx=-r sinθ,vy=r cosθ是錯的，因為我們不是對θ求導而是對t求導，因此得到的結果根據(jù)復合函數(shù)求導法則還要再乘一個角度對時間的求導也就是角速度），vx=-ωr sinθ，vy=ωr cosθ，根據(jù)速度的合成v,vx,vy是一個直角三角形，根據(jù)勾股定理，v^2=vx^2+vy^2=(ωr)^2，v=ωr，我們得到了角速度與速度和半徑的關系。
        v再對時間t求一階導，ax=-ω^2*r cosθ,ay=-ω^2*r sinθ，勾股合成 a=ω^2*r，也就是說加速度等于角速度的平方乘半徑，你畫一下圖也可以發(fā)現(xiàn)這個加速度的方向始終指向圓心，如果不想畫圖就取θ=0，ax=-ω^2*r，ay=0，發(fā)現(xiàn)在0位置加速度指向圓心，沒有切向加速度，根據(jù)對稱性可以知道加速度始終指向圓心，這就是向心加速度。

習題
岸邊有一小船，岸角上有一個定滑輪，岸比水面高H，小船離岸邊水平距離L，小船一頭接繩子繞過滑輪被岸上的人以速度v拉著走，求：
（1）小船的速度
（2）小船的加速度

本題為我初入高中時加入物理興趣小組選拔試題的壓軸題，第二小題有一定難度（對于初中生來說），但是用我前面講到的內容已經足夠解決，甚至可以用不止一種方法解決。
為方便計算，這里給出具體數(shù)值，H=3m,L=3m,v=1m/s，答案可以符號解也可以用數(shù)值解
運動這章到這里結束，下一章可能講牛頓定律

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感謝分享，更新了~

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