【原創(chuàng)】過年七題熱(六):數(shù)論

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雷霆數(shù)---一個奇妙的數(shù)字078，該數(shù)字的N次方結(jié)果，從后向前，每三位分成一節(jié)，先減后加，交替進行，直到得出結(jié)果，結(jié)果仍然是078，它像堅貞的愛情永恒不變。
比如：
0782=6 084
084-6=078

0783=474 552
552-474=078

078?=37 015 056
056-015+37=078
......
依次類推，可以看出078數(shù)字的神奇。 078成為了神奇性質(zhì)成為永恒，也許沒有比這更加讓人心醉的地方，它是“不變量”，地老天荒，?？菔癄€，永恒不變。
以上內(nèi)容摘自百度百科。
百科上把雷霆數(shù)說得神乎其神，所以我想驗證一下這個所謂的“不變量”，但當我找到這個性質(zhì)的等價形式后，我發(fā)現(xiàn)它似乎并沒有這么好的性質(zhì)。
我于是對更高次方的等式進行驗證，而當我驗證到第15次方時，我發(fā)現(xiàn)：
078^15=24 066 838 317 339 048 730 709 164 032
032-164+709-730+048-339+317-838+066-24=-923
所以078的性質(zhì)并沒有那么完美
因此，我想依照078的性質(zhì)找到一個更完美的數(shù)，最后我在9進制下找到了一個大于1的數(shù)，它滿足如下的性質(zhì)：
該數(shù)字的N次方結(jié)果，從后向前，每三位分成一節(jié)，先減后加，交替進行，直到得出結(jié)果，結(jié)果的絕對值仍然是它本身。
那么，現(xiàn)在請你把這個數(shù)找出來（猜中也行，這個數(shù)在10進制下比較應景），我將給首位得出正確答案的人20~24英鎊的獎勵，祝大家龍年快樂！

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再完整說一下雷霆數(shù)的定義：
一個大于一的數(shù)字的任意正整數(shù)次方結(jié)果，從后向前，每三位分成一節(jié)，先減后加，交替進行，得到的結(jié)果重復這個過程，直到得出不變的結(jié)果，結(jié)果仍然是該數(shù)字。
先還是在十進制下找這個數(shù)，設(shè)這個數(shù)為x，則1<x<1000（若x不小于1000，則x本身就會拆分成更小的數(shù)）。
令x^n=a1+1000*a2+1000000*a3+...+1000^(m-1)*am  (其中n為正整數(shù)，a1,a2,...,am均為小于1000的自然數(shù))，記為①式。
則當a1-a2+a3-...+(-1)^(m-1)*am<1000時，有：
x=a1-a2+a3-...+(-1)^(m-1)*am，記為②式。
觀察①②兩式的特點，可對①式等式右邊部分模1001，則有：
a1+1000*a2+1000000*a3+...+1000^(m-1)*am≡a1-a2+a3-...+(-1)^(m-1)*am(mod 1001)
即：
x^n≡x(mod 1001)
x^n-x≡0(mod 1001)
當n=1時，上式自然滿足，當n>1時，對上式進行因式分解，有：
x*(x-1)*[x^(n-2)+x^(n-3)+x^(n-4)+…+x^2+x+1]≡0(mod 1001)
上式左邊分成了三個部分，即x、x-1、x^(n-2)+x^(n-3)+x^(n-4)+…+x^2+x+1，這三部分相乘可以被1001整除，所以我們需要看1001的質(zhì)因數(shù)分別整除的是哪一部分，我們先看第三部分（姑且記這部分為Σx）。
如果Σx可以被1001整除，則n=3時，Σx=x+1，那么x+1是1001的整數(shù)倍，則x一定不小于1000，所以Σx不能被1001整除。
那么Σx是否能被1001的其中一個質(zhì)因數(shù)整除呢？
設(shè)p為1001的一個質(zhì)因數(shù)，若Σx能被p整除，n=3時，Σx=x+1；n=4時，Σx=x^2+x+1，那么有：
x+1≡0(mod p)
x^2+x+1≡0(mod p)
兩式相減可得：
x^2≡0(mod p)
也就是說，若Σx能被p整除，x一定可以被p整除，所以Σx能提供的質(zhì)因數(shù)，x都能提供，那么我們只需考慮剩下的兩部分x和x-1能被1001的哪幾個質(zhì)因數(shù)整除即可。
同理可知x和x-1都不能被1001整除，那么要想讓x*(x-1)被1001整除，x和x-1就需要分別提供1001的質(zhì)因數(shù)。
換句話說，我們得出x滿足下面這個性質(zhì)：
把1001拆成兩個數(shù)的乘積，這兩個數(shù)分別可以整除x和x-1。
現(xiàn)在我們可以開始找了，1001=7*11*13，可以令x-1=7*11=77，那么x=78，78正好可以被13整除，所以78就是一個符合的數(shù)，這也就是百科里的雷霆數(shù)078。
那么078是十進制下唯一一個滿足這個性質(zhì)的數(shù)嗎？并不是，比如：287（本身可以被7整除，286可以被11和13整除）、364（本身可以被7和13整除，363可以被11整除）等都滿足這個性質(zhì)。
但是，有這個性質(zhì)的數(shù)滿足的僅僅是①式和②式模1001后的結(jié)果，而并不是直接滿足①式和②式，所以這些數(shù)也可能滿足的是下面這個式子：
a1-a2+a3-...+(-1)^(m-1)*am=x-1001
所以x的n次方結(jié)果經(jīng)過拆分加減最后得到的也可能是x-1001（x-1001的絕對值一定是小于1000的）
這也就是為什么驗證078的15次方時，得到的結(jié)果是-923而不是078，因為-923=78-1001。
因為會得到負數(shù)，所以這樣的性質(zhì)就沒那么好看了。
但還可以再掙扎一下，把滿足的條件改成得到的結(jié)果的絕對值還是原來的數(shù)，這樣的話，即使結(jié)果是負數(shù)也更好看一點。
那么在十進制下，我們要滿足的式子是：
x-1001=-x
解出x=500.5，這個有小數(shù)點肯定是沒法滿足的。
所以為了得到整數(shù)，就必須在奇數(shù)進制下找了。
以九進制為例，我們要滿足的式子是：
x-(9*9*9+1)=-x
解出x=365
再來驗證一下365是否滿足之前的性質(zhì)：
9*9*9+1=730=365*2，365本身可以被365整除，而364可以被2整除，滿足條件。

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問下加減過程也是在九進制下進行的嗎？還是在十進制下加減？

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那必然是2024