反帕斯卡三角形

起因是我看到了一道IMO的題。

這道題難度并不大，邏輯謎題愛(ài)好者也能給出粗略的證明。

大家對(duì)楊輝三角或帕斯卡三角形應(yīng)該很熟悉。
反帕斯卡三角形是什么呢？

如圖，這是一個(gè)三階的反帕斯卡三角形。將1～1+2+3 的數(shù)字填入，除了最后一行，每一個(gè)元素都是左下方和右下方的數(shù)的差的絕對(duì)值。

1.嘗試給出四階反帕斯卡三角形。
2.嘗試給出五階反帕斯卡三角形。

如果你已經(jīng)找到了規(guī)律，那么

3.證明2018階反帕斯卡三角形不存在。（IMO）

*4.其實(shí)可以證明大于五階的反帕斯卡三角形不存在。

之所以歸到邏輯推理的板塊是因?yàn)樗褪且坏肋壿嬛i題。

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數(shù)字能否重復(fù)

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四階
       4
     5    1
  2   7     6
8  10   3   9
對(duì)于四階大概的思路，首先簡(jiǎn)單得出四階十個(gè)數(shù)，可以把四階拆分成幾個(gè)二階，對(duì)于二階就是上元為下元的差的絕對(duì)值，上元的特殊點(diǎn)有幾個(gè)，10 和5 因?yàn)椴荒艹霈F(xiàn)相同的數(shù)所以存在二倍的數(shù)較為特殊 3 6 2 4 8 5 10
以5為上元舉例子，則下元中有1234和另外對(duì)應(yīng)6789，但是其中不存在大于十的數(shù)，所以6 7 8 9與10互補(bǔ)的數(shù)得在下端出現(xiàn)，又因?yàn)?0最大只能在底端出現(xiàn)，所以5在四階的第二行。然后關(guān)鍵的再去5上下端的數(shù)，其中234為特殊因?yàn)榇嬖诒稊?shù)，則可以假設(shè)5平端為1，所以上端為4，下端則為2或3，其中3的情況不成立所以下端取2