國(guó)慶長(zhǎng)假專題之"殺手?jǐn)?shù)獨(dú)的數(shù)學(xué)元素"

57139

這里介紹一道FryTheGuy2023年1月發(fā)布的一道小題《Missing Digits》

這題采用了3種變形元素4種約束：

1.“小殺手”：就是這個(gè)帶箭頭的數(shù)字40，箭頭方向有8個(gè)格子，它們的和=40，它和殺手框的主要區(qū)別是這些格子里的數(shù)字沒有額外的“不能重復(fù)”的限制，直覺上能感覺到這一條主要用于解題的收尾階段的避免多解的一條限制手段。

2.“無(wú)馬”：象棋中的馬行走的時(shí)候有固定的規(guī)則，它走“日”字，這條“約束”要求整個(gè)盤面的“日”字形狀的2X3區(qū)域的任何一對(duì)對(duì)角頂點(diǎn)上都沒有相同數(shù)字，它不僅包括2X3區(qū)域，也包括了3X2區(qū)域。
這一條明顯是用于增加格子可填數(shù)字的限制，某種角度上說(shuō)，這也許會(huì)讓填數(shù)更加容易了。

3.“殺手”：這是這道小題的主題，殺手?jǐn)?shù)獨(dú)有其獨(dú)特的“潛規(guī)則”或者說(shuō)“推論”，這道小題其實(shí)就像是在給玩家“上課”，普及殺手?jǐn)?shù)獨(dú)的某個(gè)比較獨(dú)特的要點(diǎn)。

4.所有籠子算一起，里面只包含7個(gè)不同的數(shù)字，沒用到的2個(gè)數(shù)字由玩家自己來(lái)推斷。

這題有超我的“3種約束條件”的底線，所以，我就用來(lái)作教學(xué)例題了。

做題界面鏈接

57139

一般來(lái)說(shuō)，玩殺手?jǐn)?shù)獨(dú)的時(shí)候，總要有一些“數(shù)學(xué)頭腦”，籠子里的數(shù)字不再只是表示一種符號(hào)，而是有了它的數(shù)學(xué)意義和屬性了。

觀察這道題，直覺上會(huì)有這樣一種想法：“在一堆籠子的格子堆里，R6C3被排除在外，這個(gè)格子的數(shù)字大概率會(huì)是2個(gè)沒有用到的數(shù)字之一”，但要確認(rèn)它還是得想辦法證明。

57139

我們還能簡(jiǎn)單觀察到這里的兩個(gè)連著的14籠是不同的組合，因?yàn)闊o(wú)馬規(guī)則約束了R7C2≠R8C4,所以R7C2這個(gè)粉色格子和右邊的14籠里的任何一個(gè)數(shù)字都不同。

57139

其實(shí)，4格14籠有其獨(dú)特的“潛規(guī)則”或“推論”，在我剛開始學(xué)玩殺手?jǐn)?shù)獨(dú)的時(shí)候就已經(jīng)有所發(fā)現(xiàn)：
2個(gè)不同的4格14籠組合，它們必定有兩個(gè)數(shù)字是相同的！

這一點(diǎn)，我們不用去羅列出所有組合，然后兩兩組合來(lái)枚舉，我們可以用數(shù)學(xué)方法來(lái)證明它。

對(duì)象：4格籠，和值14，不同的2個(gè)組合
1.不可能全不同，否則8個(gè)不同的數(shù)字和=28！
2不可能僅有3個(gè)數(shù)字相同，因?yàn)?個(gè)相同，就意味著第4個(gè)數(shù)字也會(huì)相同。
3.關(guān)鍵就看能不能只有1個(gè)數(shù)字相同
如果只有1個(gè)數(shù)字相同，那么7個(gè)不同的數(shù)字和＜28，其余的兩個(gè)數(shù)字和＞17，但我們知道即使留下的是最大數(shù)字8和9，它們的和也只能是17，所以我們可以確定下來(lái)：兩個(gè)4格14籠的不同組合，必定會(huì)只用到6個(gè)數(shù)字，其中有兩個(gè)數(shù)字是共用的。

57139

也許會(huì)有數(shù)學(xué)學(xué)霸進(jìn)一步指出，這兩個(gè)14籠沒有用到的3個(gè)數(shù)字，它們的和≥20，它們都≥3，其中有一個(gè)是9...

緊接著，學(xué)神也按捺不住插話了：“4格26籠也有相同的性質(zhì)，只要把14籠的組合數(shù)字全換成它們的補(bǔ)數(shù)，就是26籠的組合數(shù)字”

沒錯(cuò)，14+26=40，它們的補(bǔ)數(shù)也會(huì)有類似的性質(zhì)。
FryTheGuy用一種異乎尋常的手段，一個(gè)小殺手的“40”在提醒玩家，“請(qǐng)留意14+26=40！”

57139

我們可以繼續(xù)在數(shù)學(xué)的海洋里遨游：

2種不同的4格26籠組合也必定只用到6個(gè)不同的數(shù)字，其中有兩個(gè)數(shù)字共有。

14籠沒用到的3個(gè)數(shù)字和≥20，而26籠沒用到的3個(gè)數(shù)字和≤10

由于題目要求它們當(dāng)中有2個(gè)沒有用到的數(shù)字是一樣的，這就意味著第3個(gè)沒用到的數(shù)字可以不一樣，但這個(gè)不一樣的數(shù)字的差要≥10。這個(gè)結(jié)論明顯錯(cuò)誤！
所以，在已經(jīng)確定那兩個(gè)14籠是不同的前提下，26籠的組合就絕對(duì)不能不同，這就意味著26籠的組合都相同。

57139

接下來(lái)我們就可以大松一口氣了。
我們可以非常從容地利用“無(wú)馬”的加持，填充每個(gè)格子了。

但是，最后FryTheGuy還會(huì)留一道畢業(yè)試題，這個(gè)小殺手的“40”，并不好對(duì)付，你數(shù)學(xué)能力的強(qiáng)弱，決定了你完成題目的時(shí)間長(zhǎng)短。

57139

玩殺手?jǐn)?shù)獨(dú)是有一定門檻的。
最高的門檻就是“殺手計(jì)算器”，如果你沒有殺手?jǐn)?shù)字組合表，或者你所用的軟件不提供“殺手計(jì)算器”，你玩殺手?jǐn)?shù)獨(dú)會(huì)異常困難，因?yàn)榛\子的組合數(shù)你得靠自己純手工羅列出來(lái)，這實(shí)在不可取。

一般的變形數(shù)獨(dú)軟件都有提供“殺手計(jì)算器”的，我發(fā)的“做題界面鏈接”上，也有“殺手計(jì)算器”可以使用，盡管本帖這道題并不需要。

本帖這道題只要知道兩個(gè)14籠組合不同，26籠組合相同即可，具體到底是哪些數(shù)字并不要緊，它是由小殺手的這個(gè)“40”來(lái)定的。所以填格子的時(shí)候不用感到焦慮，F(xiàn)ryTheGuy很擅長(zhǎng)玩這類把戲。