用概率判生死：法庭上的數(shù)學(xué)證據(jù)

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如果你哪天不留神做錯(cuò)了一道概率題會(huì)有什么不堪設(shè)想的嚴(yán)重后果？自然是沒有的。我想最多也就是考試掛科，補(bǔ)考重修而已。可是對(duì)于法庭上那幫戴著假發(fā)的人來說，概率沒算好可以讓無辜的人進(jìn)監(jiān)獄，讓真正的罪犯逍遙法外。聽起來似乎不可思議，但這樣的事情真的發(fā)生過。

洛杉磯搶劫案
歷史上最著名的案例要數(shù) 1964 年夏天發(fā)生在美國洛杉磯的一起劫案。一天中午，一位老婦人從雜貨店買了東西推著小車回家，途經(jīng)一條小巷時(shí)，突然被一位沖過來的年輕女子推倒，等老婦人醒過神來，發(fā)現(xiàn)自己身上的錢包已被偷走，女賊也早跑了很遠(yuǎn)。雖然老婦人沒有看清罪犯是什么樣子，可小巷周圍的不少住戶都曾與這位女子擦肩而過，并且看到她在街頭跳上一輛車逃離現(xiàn)場。

后來警方根據(jù)目擊者描述的犯罪者特征，幾天后在附近逮捕了一對(duì)夫妻（Malcolm Collins 和 Janet Collins. Malcolm）。可是在法庭上，目擊者中并沒有人能夠清晰地指認(rèn)出罪犯，因此檢方很難將 2 人定罪。于是檢察官們想出了一個(gè)“新穎的辦法”，他們把目擊證人說出的幾條主要特征列了出來，并且根據(jù)洛杉磯地區(qū)的數(shù)據(jù)估算了這些特征會(huì)出現(xiàn)的概率：

黃色的汽車：1/10

嘴上面有短胡子的男性：1/4

絡(luò)腮胡子的黑人：1/10

馬尾辮女孩：1/10

金發(fā)女孩：1/3

汽車中有膚色不同的夫妻倆：1/1000
檢察官找來一位“數(shù)學(xué)專業(yè)人士”，計(jì)算了在整個(gè)洛杉磯地區(qū)符合上述各條特征的夫婦存在的概率，這位“數(shù)學(xué)專業(yè)人士”認(rèn)為最后的概率應(yīng)該是 6 個(gè)概率值乘到一起，結(jié)果就是 1/1200萬。檢察官據(jù)此告知評(píng)審團(tuán)，如此小的概率很難發(fā)生，附近地區(qū)很難再找到另外一對(duì) 6 項(xiàng)特征全部符合的夫婦，所以這對(duì)嫌疑人一定是罪犯。陪審團(tuán)最終采納了檢方的意見，判定這對(duì)夫婦搶劫罪成立。

首先，概率乘法公式 P(ABC) = P(A)P(B)P(C) 一定要在 A,B,C 都是獨(dú)立事件的時(shí)候才成立，可是目擊者提供的那些特征并不相互獨(dú)立，比如留八字胡的男性和留絡(luò)腮胡的男性這兩項(xiàng)，“男性”這個(gè)信息是重疊的，而喜歡留胡子的人往往兩個(gè)位置都會(huì)留胡子，兩個(gè)特征高度關(guān)聯(lián)，同時(shí)發(fā)生的概率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于兩個(gè)數(shù)字相乘。馬尾辮女孩和短發(fā)女孩也是同樣的道理。這樣的話，正確的概率可能會(huì)是 1/1200萬的很多倍，并沒有那么低。

退一步說，假定概率真的是 1/1200萬，以案發(fā)附近地區(qū)有 400 萬人算，至少有2位夫婦符合目擊者全部特征的概率是 1 - (11999999/12000000) 4000000 ，超過 30%，也就是說，僅僅根據(jù) 1/1200萬 的概率斷就判定這對(duì)夫婦是唯一的也沒有道理。
母親殺子案

類似的用數(shù)學(xué)計(jì)算來判案還不止一次。 1999 年，英國也有一次“概率定罪”的案件。一個(gè)Sally Clark的婦女第一個(gè)孩子出生之后幾個(gè)星期離奇死亡，醫(yī)生查不出其他病因，只診斷為一種叫 SIDS （嬰兒猝死綜合癥）的罕見疾病。隨后Clark再次懷孕，第 2 個(gè)孩子也在出生后幾個(gè)星期死亡，原因再次被診斷為SIDS。這件事引起了警方的懷疑，警方認(rèn)為 2 個(gè)孩子有可能是“被猝死”的，將 Clark 逮捕。

在法庭上，檢方引用醫(yī)生的證明，聲稱 SIDS 這種病發(fā)病率很低，而且不是遺傳病，所以可以把兩個(gè)孩子的 SIDS 死亡看作獨(dú)立事件，相乘之后的概率只有 1/7300萬。和洛杉磯劫案類似，概率在這里再次被當(dāng)做一個(gè)關(guān)鍵證據(jù)。檢方以此說服了陪審團(tuán)，法庭最后認(rèn)為兩個(gè)孩子連續(xù)得這種突發(fā)罕見疾病的概率很低，很難發(fā)生，Clark 殺死孩子罪行應(yīng)該成立，被送入監(jiān)獄。
和上一個(gè)故事的結(jié)局一樣，這個(gè)判決后來也被推翻了， Clark 被無罪釋放。

不妨讓我們來看看檢方的觀點(diǎn)。他們認(rèn)為 P(兩個(gè)孩子都死于SIDS) = 1/73000000，那么 P(Clark殺了兩個(gè)孩子) = 1 - 1/73000000 = 72999999/73000000，幾乎是鐵定的事實(shí)。

但是，檢方疏忽了一個(gè)非常關(guān)鍵的事實(shí)，那就是上面這個(gè)推理只有在 P(兩個(gè)孩子都死于SIDS) + P(Clark殺了孩子) = 1 時(shí)才成立。事實(shí)上，除了這兩種情況外還有其他可能，檢方并不能完全排除。

英國皇家統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)后來指出，真要計(jì)算的話，一位母親連續(xù)殺死自己兩個(gè)親骨肉這樣極其變態(tài)行為發(fā)生的可能性同樣是極低的，甚至低于兩個(gè)孩子都死于 SIDS 病的可能性。在判斷概率的時(shí)候，不能只看P(兩個(gè)孩子都死于SIDS)有多小，還要看和P（母親連續(xù)殺死兩個(gè)孩子）做相對(duì)比較。最后上訴的一方憑借更加全面的解釋和一些新證據(jù)（比如第二個(gè)孩子可能受過細(xì)菌感染，有可能既不是死于 SIDS，也不是被殺）成功地為 Clark 洗脫罪名
辛普森案

辛普森在法庭上演示將手伸進(jìn)手套（證物）時(shí)，非常費(fèi)力和勉強(qiáng)。圖片來源：tbo.com

第三個(gè)案件是美國的 1994 年到 1995 年的Simpson辛普森案件,辛普森是當(dāng)年著名的橄欖球明星，因?yàn)樯嫦託⒑ψ约旱钠拮颖黄鹪V，引起軒然大波，當(dāng)時(shí)估計(jì)全美有1億人看了對(duì)這個(gè)案件的電視轉(zhuǎn)播。腰纏萬貫的辛普森花高價(jià)聘請(qǐng)“夢幻組合律師團(tuán)”為自己辯護(hù)，其中包括哈佛大學(xué)法學(xué)院的教授Alan Dershowitz，作為一位百戰(zhàn)百勝的律師，Alan在這個(gè)案件中作為辯方一員再次大展身手。
本來警方在案件現(xiàn)場收集到了很多證據(jù)，包括帶血的手套、血跡、現(xiàn)場DNA檢驗(yàn)。為了證實(shí)辛普森是有意圖殺害自己妻子的，警方還特意收集了大量辛普森長期毆打虐待妻子的證據(jù)。似乎辛普森難逃被定罪伏法的命運(yùn)，可是辯護(hù)律師們通過各種方法一一化解掉了檢方的所有證據(jù)，護(hù)律師團(tuán)還宣稱洛杉磯警察局有其他失職行為。在經(jīng)歷了長達(dá)9個(gè)月的審判后，辛普森被宣判無罪。

在 9 個(gè)月的馬拉松式審判中，有一個(gè)用數(shù)學(xué)來辯護(hù)的小插曲。就是在對(duì)于虐待妻子這一條上，大律師Alan用概率的方法在法庭上辯解，“美國每年有 400 萬婦女被丈夫或男友毆打，可是美國每年只有 1432 名婦女被丈夫殺死，這樣說明那些長期虐待妻子的男人最后出手殺人的概率也就 1/2500，檢方的說法不靠譜”。Alan的辯詞似乎聽起來挺有道理，檢察官一時(shí)“反應(yīng)不過來”，提不出好的理由進(jìn)行反駁。

可是從概率的角度上看，Alan的辯詞只是狡辯而已。我們定義事件 A 是一個(gè)美國人虐待了妻子， B 是一個(gè)美國人殺了妻子。在事先沒有任何給定信息的前提下，Alan律師估計(jì)的條件概率是 P(B|A) = 1/2500。
但現(xiàn)實(shí)是，事件 A 已經(jīng)發(fā)生，辛普森確實(shí)虐待了妻子，概率為1。。他的妻子被殺的事情也已經(jīng)發(fā)生，只是不清楚是誰是兇手。P(B|A)中 A、B 真正的定義應(yīng)該是：

A：一個(gè)人虐待了妻子并且妻子被殺

B：兇手正是這個(gè)人
根據(jù)資料，P(B|A)可以達(dá)到 90% 之高，也就是說在所有遭到謀殺的被虐美國妻子中，90%是被施虐者殺害。不過在庭審的時(shí)候，檢方并沒有能及時(shí)提出這個(gè)論點(diǎn)，不幸讓Alan律師的詭辯得逞。

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好吧。。。我還是懶得看。。。又收藏。。。

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數(shù)學(xué)要學(xué)好。。。

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深深地震撼了·····技術(shù)派·····

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學(xué)好數(shù)學(xué)是多么好啊~~E

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:Billd_lingluan:于是我想起了以前看的一部美國片。貌似是有一對(duì)兒情侶想要控制陪審團(tuán)還是啥的。。。。

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呵呵，我最不擅長的就是數(shù)學(xué)，收藏起來慢慢研究

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我想我得惡補(bǔ)我的數(shù)學(xué)了，幾乎看不懂。。。

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還有這樣判案的

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在一張報(bào)紙上看過。。。