A Midsummer Knot’s Dream 簡直可以說是去年學(xué)術(shù)界的一篇奇文，大家點(diǎn)進(jìn)去看看就知道了。論文里講了一個(gè)基于紐結(jié)理論的雙人對(duì)弈游戲，名字也非常有藝術(shù)感： To Knot or Not to Knot 。這個(gè)游戲可能是最難的組合游戲了，它的數(shù)學(xué)性極強(qiáng)，思考難度非常大，甚至比 ERGO 更不容易上手。一場游戲下來，究竟誰贏誰輸可能都不好判斷。
To Knot or Not to Knot 的游戲規(guī)則非常簡單。用鉛筆在紙上畫一個(gè)封閉的、可以自相交的回路，然后 A 、 B 兩人輪流在圖形中選取一個(gè)尚未被處理過的交叉點(diǎn)，并用橡皮擦對(duì)圖形進(jìn)行“細(xì)化”，明確兩根線條的位置關(guān)系（可以拋擲硬幣決定誰先行動(dòng)）。A 的目的是要讓最終的圖形變成一個(gè)結(jié)，而 B 的目的則是避免圖形打結(jié)。下面是其中一種可能的游戲過程，雙方約定 B 先走。兩人輪流對(duì)交叉點(diǎn)進(jìn)行細(xì)化，七步之后，整個(gè)圖形并未打結(jié)（你能看出來嗎）， B 獲得勝利。
注意，這是一個(gè)決策透明、信息公開的游戲，并且游戲不可能有平局產(chǎn)生。因此，即使雙方都使出最佳策略，也必然有一個(gè)人會(huì)贏有一個(gè)人會(huì)輸。也就是說，任意給定一個(gè)初始狀態(tài)，總有一方有必勝的策略。不過，難就難在，究竟誰有必勝策略，必勝策略是什么，這并不容易判斷。讓我們來做一個(gè)練習(xí)題吧：下面的圖形中，如果 A 先走，B 后走，誰有必勝策略？如果 B 先走，A 后走呢？記住，A 的任務(wù)是要讓最終的圖形打成結(jié)，而 B 的任務(wù)則是避免圖形打結(jié)。
答案是，兩種情況下，后走的人都是必勝的。為了便于敘述，我們用 a 、 b 、 c 、 d 、 e 、 f 來標(biāo)記圖中的六個(gè)交叉點(diǎn)。對(duì)于兩根線條連續(xù)兩次相交的地方，最終只可能是右圖所示的 I 、 II 、 III 、 IV 四種情形之一。我們把前兩種情形叫做“假交叉”，把后兩種情形叫做“真交叉”。
注意到，如果 B 能把 (e, f) 變成假交叉，那么不管下面四個(gè)交叉點(diǎn)是什么樣，整個(gè)圖形必然不打結(jié)。因此，如果 B 是后走的，那么 B 一定可以獲勝：一旦 A 動(dòng)了 e 、 f 中的一個(gè)交叉點(diǎn)，那么 B 立即細(xì)化另一個(gè)交叉點(diǎn)，讓它成為假交叉；否則， B 就陪著 A 在下面四個(gè)交叉點(diǎn)中玩。但是，下面只有四個(gè)交叉點(diǎn)，是一個(gè)偶數(shù)，因而最終 A 將被迫對(duì) e 或者 f 進(jìn)行細(xì)化，從而宣告 B 的勝利。
如果 A 是后走的人呢？ A 也將必勝。 A 可以把六個(gè)交叉點(diǎn)分成 (a, b) 、 (c, d) 、 (e, f) 三組，然后 B 細(xì)化了哪一個(gè)交叉點(diǎn)， A 也就跟著修改同組的另一個(gè)交叉點(diǎn)，從而決定每組交叉點(diǎn)的交叉類型。 A 可以把 (e, f) 變成真交叉，把 (a, b) 和 (c, d) 當(dāng)中的一個(gè)也變成真交叉，另一個(gè)變成假交叉，這便能保證讓整個(gè)圖形打結(jié)（如圖 1）。需要注意的是，把下面兩組交叉變成一真一假，這是必需的。如果下面兩組都是假交叉，得到的圖形仍然沒有打結(jié)（如圖 2）；而如果下面兩組都是真交叉的話，最終的圖形也不見得就一定是一個(gè)結(jié)（如圖 3）。
