第二版殺拉的五題串燒

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第三題再次由@天馬行空 答對了，，，
第四題先等一晚上吧，，，照這個勢頭下去估計5題全給一個同大神解決了

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@wclloveqq @推理的藝術(shù) @馬小峰
另外再補充一下前三題我自己原來準備的答案吧。。。應(yīng)該更通俗易懂一點
解第一題：
描述燈的狀態(tài)只有兩個指標：
光，熱
亮著，暗著。
熱的，冷的。
對應(yīng)出四種狀態(tài)：亮著是熱的，亮著是冷的，暗著是熱的，暗著是冷的

接下來，先從4個燈開始。
1號2號燈打開足夠燈泡發(fā)熱的時間
之后，關(guān)閉2號，打開3號。
立刻進入檢查各個燈的狀態(tài)：
亮著是熱的：1號
亮著是冷的：3號
暗著是熱的：2號
暗著是冷的：4號
就可以區(qū)分開了……

這就說明了，進入一次可以將4個燈泡的對應(yīng)關(guān)系確認。
該操作記為(*)

如果是5到16個燈泡的情況呢？
就可以把所有燈泡分成4組，那么每組最多有4個燈泡。
接著對這4組進行(*)操作
然后進入第一次
接著對各個組內(nèi)進行(*)操作
在進入一次
就可以將最多16個燈泡分辨出來了

由此推算
4的三次方=64＜100＜256=4的四次方
則辨別100個燈泡只需要4次進入房間


解第二題：
解：492種
記到第n格的可能有f(n)種。
則有：
f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+f(n-4)+f(n-5)+f(n-6)
(站在第n-1格拋出1的情況，加上站在第n-2格拋出2的情況……加上站在第n-6格拋出6的情況。)

而且，容易得出
f(0)=1，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=4，f(4)=8，f(5)=16，f(6)=32。

于是遞推得：
f(7)=32+16+8+4+2+1=63
f(8)=63+32+16+8+4+2=125
f(9)=125+63+32+16+8+4=248
f(10)=248+125+63+32+16+8=492

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@wclloveqq
第三題的解法：（這個是我自己想到的解法和其他解法比起來還有很多不足）
如果局面變成(2，1)那么輪到的玩家就必輸無疑。
所以(2，1)是必輸?shù)那闆r。
同樣的，也可以直接看出(5，3)也是能夠讓輪到的玩家必輸?shù)臓顩r。
(無論怎么拿，都會變成(2，1)，或者直接輸?shù)那闆r)
所以(5，3)也是必輸?shù)那闆r。
只要找出全部的諸如此類的情況的話，先拿的人，如果面對的不是這種情況，就可以通過拿取，制造出這種“必輸”的情況。

接下來，就是找出這些“必輸”的情況。
(以下是個人的想法，和網(wǎng)上的可能不一樣，也沒去確認過。)

先把簡單的必輸?shù)膸捉M找出來：
(因為兩堆等價，哪堆多哪堆少不重要，所以統(tǒng)一把左邊寫成大的)

(2，1)
(5，3)
(7，4)
(10，6)

在這里再說明一遍“必輸”的原因。
如果A面對著(10，6)，無論A怎么拿，B總可以制造出(7，4)；(5，3)；(2，1)或者直接B獲勝的情況。
所以對于A來說，(10，6)是必輸?shù)摹?br />
必輸組合的特點在于，無論這個人怎么拿，對方總可以通過拿取，留給這個人另一個數(shù)字更小的必輸組合或者直接獲勝。
并且由于一一對應(yīng)且唯一，這個人無法反過來制造出必輸局面給對方。

有了(2，1)(5，3)(7，4)(10，6)之后，就拿找下一組為例。

找下一組的方法：
大的那個數(shù)減去小的那個數(shù)，肯定得=(上一組的數(shù)的差值+1)。
其次，小的那個數(shù)，必須是之前都沒有出現(xiàn)過的數(shù)。
在這里，小的數(shù)得是8。(因為之前的情況下，1到7都出現(xiàn)過了)
差值是5，(因為上一組的差值是10-6=4)
所以，下一組為(13，8)

這樣的話，所有的數(shù)都不遺漏，并且差值是恒定增加的。………………(*)
并且，所有的數(shù)只出現(xiàn)一次。………………(#)
這將會是必勝法

為什么呢？
面對必輸?shù)慕M合(m,n)時：
無論選擇從一堆拿取，還是從兩堆中拿取。拿完之后，一定至少會新出現(xiàn)一個數(shù)p(p不等于n)，而p小于m。而在必輸組合中，一定存在著一個q(q不等于p)，使得(p,q)為必輸組合。
這樣，留給對方的，又是一個必輸組合。

可以很容易地通過上一組組合，繼續(xù)遞歸：
(2，1)(5，3)(7，4)(10，6)
(13，8)(15，9)(18，11)(20，12)
(23，14)(26，16)(28，17)(31，19)
(34，21)(36，22)(39，24)(41，25)
(44，27)(47，29)(49，30)(52，32)
(54，33)(57，35)(60，37)(62，38)
(65，40)(68，42)(70，43)(73，45)
(75，46)(78，48)(81，50)

好了，由于題目一開始給的是(100，50)
在組合中已經(jīng)出現(xiàn)了50，也就是說，先拿的玩家只需要從100顆的那堆中，拿取19顆。留給對方(81，50)必輸局面。
則無論對方怎么取，總能給對方一個必輸局面。

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第四題：甲和乙進行邏輯游戲，黑板上有一個數(shù)：10的2015次方。兩個人只能輪流選擇下列其中一個操作進行：
1用兩個數(shù)a和b來代替黑板上原來有的一個數(shù)x，要求a*b=x。（a,b不為1）
2擦掉黑板上兩個相等的數(shù)。
如果有人無法進行這樣的操作的話，就算輸。
甲先操作，請問，甲和乙誰擁有必勝法？什么樣的必勝法？

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第四題:
先是一如既往的詢問歧義的理解..
"兩個人只能輪流進行下列操作：1.blablabla;2.blablabla."是什么意思?
一人只能用操作1,另一人只能用操作2?
或者是 每人輪到時都能從兩項中任選一項?
或者是 每人輪到時都要依次執(zhí)行兩個操作?

如果是第一種理解,那么輪到第二人時就死了.
如果是第二種操作..見下文..
如果是第三項操作,第一步就動不了.

下一個問題..
"1用兩個數(shù)a和b來代替黑板上原來有的一個數(shù)x，要求a*b=x。"
并沒有要求a和b不為1?
那么在仍有數(shù)的時候必然可以繼續(xù)執(zhí)行操作1?

ps.是否能按 x->x,1->x,1,1->x 死循環(huán)?

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第四題..
已經(jīng)說了不為1了吖..那..我先猜一個意思給一個答案乃看成不成吧..

先手必勝.
第一步將10^2015改為2^2015和5^2015.
顯然以后任意時刻的任意一個數(shù)都是2或5的冪.
無論后手如何操作,先手總有對應(yīng)的操作,使得 2的冪 那些數(shù)和 5的冪 那些數(shù)一一對應(yīng).
(具體地,每當后手將a^p拆成a^q和a^r,或者擦去兩個a^p時,先手總能立即將b^p拆成b^q和b^r,或者擦去兩個b^p,其中{a,b}={2,5}.這樣,每次先手操作后,2的冪和5的冪總能按次數(shù)一一對應(yīng).)

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第四題再次由@天馬行空 答對了
方法也對了

第五題再緩緩吧

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解：
甲擁有必勝法！
甲第一次用5的2015次方和2的2015次方代替10的2015次方。

此后，甲每完成一次都可以讓黑板上的數(shù)為：2∧a1,2∧a2......2∧ak和5∧a1,5∧a2......5∧ak這樣的情況。把這個情況記為(*)。

乙碰到這個情況(*)，由于2和5都已經(jīng)是素數(shù)了，那么乙如果進行操作1的話，必然會：
將一個2∧x用2∧x1和2∧x2來代替。

此時，甲只需要進行操作1：
將5∧x次方用5∧x1和5∧x2來代替

還是會留給乙一個(*)的情況。


如果乙進行操作2的話，乙擦掉了2∧b1和2∧b2兩個數(shù)。
甲可以擦掉5∧b1和5∧b2兩個數(shù)，再給乙留下(*)的情況。

于是，不管乙如何動，甲都可以將情況變?yōu)?*)。由于步數(shù)肯定是有限的，所以乙肯定會是最先無法進行操作的人。


應(yīng)@wclloveqq 的要求，第五題（最后一題）來了

希望能頂著久一些

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第五題：有A,B兩個大盆，里面各有一個帶電小球。隨后向兩個大盆的方向丟帶電小球。
當A盆里有a個，B盆里有b個小球時，由于受到各種復(fù)雜的電磁力影響，新丟出來的小球進入A的概率是a/(a+b)，進入B盆的概率是b/(a+b)。
總共丟2014個小球，已知最后兩盆里小球數(shù)目不等，求小球數(shù)目較少的盆子里的小球數(shù)目的期望是多少？

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弱弱的給一個答案~雖然我知道一定是不對的~
當a<b時，E=（2014-a-b）*a/（a+b）
當a>b時，E=（2014-a-b）*b/（a+b）