S先生與P先生的謎題，是由美國斯坦福大學(xué)的麥卡錫提出的，事實(shí)上這是一個(gè)推理問題。在對題目定義的清楚明確下，為了得到結(jié)果進(jìn)行了一系列的舉例證明與排除，從而在思辨中得出問題的答案。這個(gè)謎題從另一側(cè)面教會(huì)了我們思考問題的方法。
美國斯坦福大學(xué)的麥卡錫提出的
設(shè)有兩個(gè)自然數(shù)X、Y，2<=X<=Y<=99,S先生知道這兩個(gè)數(shù)的和S，P先生知道這兩個(gè)數(shù)的積P，他們二人進(jìn)行了如下對話：
S：我確信你不知道這兩個(gè)數(shù)是什么，但我也不知道。
P: 一聽你說這句話，我就知道這兩個(gè)數(shù)是什么了。
S: 我也是，現(xiàn)在我也知道了。
現(xiàn)在你能通過他們的會(huì)話推斷出這兩個(gè)數(shù)是什么嗎？（當(dāng)然，S和P先生都是非常聰明的）
每一道題的解法都有它的獨(dú)特處。若具有良好的解題思想，思辨意識，有始有終，持之以恒，定會(huì)得到自己的滿意答案。
解題方法一
s先生自己不知道x，y
說明和數(shù)s不是4，5，197，198
否則x,y分別只能為2,2；2,3；98,99；99,99。均只有一種情況。即可確定x,y了。
s先生知道p先生不知道x，y
首先，什么樣的數(shù)p先生可以知道呢？
如s=8
8=2*4 8=1*8 后者是不可能的( x,y>=2 )
又如 s=25
25=5*5 只有一種
這樣p先生就能知道x,y
這說明s分解后 s=M1+N1=M2+N2=.....
M1*N1 分解成 乘積 的形式有 兩種或兩種以上，
若 s=11
11=2+9 2*9=18 18=2*9=3*6
11=3+8 3*8=24 24=2*12=3*8=4*6
11=4+7 4*7=28 28=2*14=4*7
這樣s先生可以確定p先生不能知道x，y
所以s先生知道的 和數(shù)s 是如下的數(shù)
SA={ 11,17,23,27,29,35,37，41，47，51，53...}
SA也不可以是29，因?yàn)?9=7+11+11，則x，y=88，11，
同樣得到SA={11，17，23，27}
p先生聽了s先生的話后，知道了x，y
我們可以想像p先生根據(jù)s先生的話，已經(jīng)知道s先生知道的和數(shù)是集合SA中的數(shù)
若自己所知道的乘積p分解成m*n后 其中有一個(gè)（m+n）是集合SA中的數(shù)
則 m,n就是所求的數(shù)x，y
如 p=18
18=2*9 2+9=11
18=3*6 3+6=9
11屬于SA
x，y就是 2 和 9
若p=72
72=2*36 2+36=38
72=3*24 3+24=27
......
72=8*9 8+9=17
其中27,17都屬于SA
于是72被排除了
所以p先生所知道的乘積是如下
pb={18,24,28,30，50,52,....}
所知道的x，y是乘積在pb中，且 乘積分解后的兩數(shù)的和只有一個(gè) 在SA中的數(shù)對，記為
XY={(x1,y1),(x2,y2),.....}
s先生也知道了x，y
可以知道，這時(shí)s先生也知道p先生知道的數(shù)的范圍XY
如果s分解后的兩數(shù)s=m+n,(m,n)只與XY中的一個(gè)數(shù)對相同
這樣，s先生也就找到了x，y ，但是沒有這樣的數(shù)。
解題方法二
我看到過答案，這是根據(jù)我的理解寫下的
S：我確信你不知道，但我也不知道
為什么s先生這么確定？換句話說P先生得到怎樣的組合就能立刻知道m(xù)n的值呢？
先看看哪些情況下p先生能立刻得到答案
（1）mn不能同時(shí)為質(zhì)數(shù)。
mn為質(zhì)數(shù)，那么他們的乘積分解成兩個(gè)因子乘積的可能性就唯一了，那么P先生就會(huì)立刻得知mn的值。
譬如34=1*34=2*17，因?yàn)閚m是大于等于2的，那么1*34這樣的組合是不可能的，那么mn就是2和17。
Mn不為質(zhì)數(shù)，那么他們可能之中有1個(gè)質(zhì)數(shù)，或者2個(gè)同為合數(shù)。
（2） 如果mn中有一個(gè)質(zhì)數(shù)，那么那個(gè)質(zhì)數(shù)不會(huì)大于50
如果mn有一個(gè)大于50，那么他們分解成兩個(gè)因子乘積的可能性中，其他的分解方式都會(huì)有一個(gè)因子會(huì)超過100，然么分解方式必然會(huì)被P排除，那就只剩下一種方式，P也就立刻知道答案。
譬如318 = 6*53 = 3*106 = 2*159，因?yàn)閙n小于等于99，那么后兩種可能性肯定被排除。mn就肯定是6，53。
（3） 如果mn都是合數(shù)，那么都不會(huì)大于50
理由同上。可就是P分解因子，只有一種情況下mn是小于100的，其他情況mn必有一數(shù)大于等于100。
其實(shí)mn的積也不會(huì)是8或者27，因?yàn)? = 2*4 27=3*9，分解因子也就一種情況
Mn的值在以上情況下P先生可以立刻知道答案，那么也就是說S先生看到mn的和可以立刻推理出mn不可能存在上述的情況
（4）S不能分解成三個(gè)這樣的質(zhì)數(shù)之和：
如果S=29=7+11+11.那么X,y=11，88，或7，121 后面一種不符合。
又如果S=35=7+11+17，那么x，y=7，187或11，119或17，88 前面兩種不符合。
（1）S肯定是奇數(shù)
S肯定是奇數(shù)，如果s是偶數(shù)，那么mn有可能是質(zhì)數(shù)。（原作者引用了哥德巴赫猜想：每一個(gè)大于2的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)的和。雖然這個(gè)猜想沒有證明，但是在100范圍以后可以實(shí)驗(yàn)證明這個(gè)猜想是正確的。如果有例外的話，這個(gè)猜想也就不會(huì)這么有名了。也就是說4－100范圍以內(nèi)的偶數(shù)都可以用兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和表示。）
（2）mn的和不能大于54
這個(gè)推測的依據(jù)是建立在上面2、3之中的。因?yàn)镾先生確信P先生不知道m(xù)n的值，所以2、3的情況是不會(huì)從mn的和中反應(yīng)的。
（3）S-減去2的值不是質(zhì)數(shù)
在質(zhì)數(shù)中，2是一個(gè)特例，他是質(zhì)數(shù)中唯一的偶數(shù)。既然mn不能同時(shí)為質(zhì)數(shù)，那么s減去2的值也就不是質(zhì)數(shù)了。
（4)S不等于29，35，37，41，47，51，53.
有上得S只能取11，17，23，27。
P: 聽你說這句話，我就知道這兩個(gè)數(shù)了
P先生和我們一樣，現(xiàn)在知道m(xù)n的和就只有上面的可能了。他只要把mn的積分解兩個(gè)因子乘積，所有可能性中，有且只有一組的可能性中兩個(gè)因子的和剛好是上面11個(gè)數(shù)中的一個(gè)，那么P先生就知道m(xù)n的值了。
假設(shè)P = 30 = 5*6 = 2*15，而5+6=11，2+15 =17，11和17都在上面11個(gè)數(shù)之中，那么P先生就無法判斷mn到底是哪組數(shù)。所以P就不會(huì)等于30。
既然知道P先生的判斷方法，現(xiàn)在就從11個(gè)數(shù)出發(fā)，一個(gè)個(gè)的推導(dǎo)。
S: 我也是，現(xiàn)在我也知道了
S先生根據(jù)P先生的話知道了mn的積分解因子，只有一組的因子之和為11個(gè)數(shù)中間的一個(gè)。而S先生同時(shí)也立刻知道m(xù)n的值。我們可以推斷，如果把mn之和拆成數(shù)個(gè)由一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)的組合，只有一個(gè)組合符合下面的條件：這個(gè)奇數(shù)和偶數(shù)的乘積符合第2條P先生的判斷，也就是把這個(gè)積分解成兩個(gè)因子乘積，所有分解情況中，有且只有一組的情況中兩個(gè)因子的和剛好是上面11個(gè)數(shù)中的一個(gè)。這樣S先生也就能知道m(xù)n的值了
我們只要把11個(gè)數(shù)拆成若干種奇偶組合，如果有2個(gè)或者2個(gè)以上的組合滿足P先生判斷條件，那么這個(gè)數(shù)就不是mn的和。：
（1）11 = 2+9=4+7=6+5=8+3
2*9 = 18 = 3*6，3+6=9不在10個(gè)數(shù)中，那么2*9符合。
4*7=28=2*14，前面說過mn是一奇一偶，2*14不考慮，4*7符合。
6*5=30=2*15，而6+5=11，2+15=17，兩個(gè)數(shù)都在11個(gè)數(shù)中，那么P先生是無法判斷，所以這個(gè)組合可以略過。
8*3 = 24 = 2*12=4*6，，那么2*12，4*6不用考慮，8*3符合
現(xiàn)在有3組數(shù)字符合，那么11就不是mnd的和了
從上面看，如果把11拆成2的次方和一個(gè)質(zhì)數(shù)的組合，那么只有一種分解是一奇一偶，其他的情況都是2個(gè)偶數(shù)。(4,7) = (2^2,7),(3,8) = (3,2^3)，這樣的組合分解就具有唯一性，就能滿足我們的要求。11可以拆成2個(gè)這樣的組合，11就可以排除了。
（2）23 = 2^2+19 = 2^4+7
27 = 2^2+23 = 2^3+19
上面是數(shù)可以拆成2組2的次方和一個(gè)質(zhì)數(shù)，也就是有2組符合P先生的判斷，故這些數(shù)可以排除，那就只剩下17，29了
（3）29 =16+13=2+27
2*27 = 54 =3*18=6*9，符合
16*13 是2^4和13，13是質(zhì)數(shù)，肯定符合
29有2組符合，所以29排除。
（4）現(xiàn)在就只剩下17了。
17=4+13=6+11=7+10=8+9
4*13=52，6*11=66，7*10=70，8*9=72都只有一組符合。排除故無解。 |
